Cos'è la legge di Gauss: formula e sua derivazione

Lo studio della carica elettrica e del flusso elettrico insieme alla superficie è la legge di Gauss. È una delle leggi fondamentali dell'elettromagnetismo, applicabile a qualsiasi tipo di superficie chiusa nota come superficie gaussiana. Questa legge è spiegata e pubblicata da un matematico e fisico tedesco Karl Friedrich Gauss nell'anno 1867. Descrive la relazione tra l'intensità del campo elettrico di una superficie e la carica elettrica totale racchiusa da quella superficie. Questo articolo fornisce una panoramica della legge di Gauss nei dielettrici e nella magnetostatica con un'espressione matematica. Che cos'è la legge di Gauss? La legge di Gauss è una delle equazioni dell'elettromagnetismo di Maxwell e definisce che il flusso elettrico totale in una superficie chiusa è uguale al cambiamento racchiuso diviso per permettività. Secondo questa legge, il flusso totale legato ad una superficie chiusa è 1/E0 volte il cambiamento racchiuso da una superficie chiusa. Per flusso elettrico in un'area si intende il prodotto del campo elettrico per l'area della superficie proiettata in un piano e perpendicolare al campo. Legge di Gauss Formula Secondo questa legge, la carica totale racchiusa in una superficie chiusa è proporzionale al flusso totale racchiuso dalla superficie. Considera se, Φ è il flusso totale ed E0 è la costante elettrica, allora la carica elettrica totale Q racchiusa da una superficie chiusa può essere espressa come segueQ= ΦE0Pertanto, la formula della legge di Gauss può essere espressa come sotto ΦE= Q/E0Dove, Q= Carica totale all'interno della superficie data, E0 è la costante elettrica. Questo concetto è semplice e può essere compreso molto facilmente considerando il diagramma della legge di Gauss mostrato nella figura sottostante. Il flusso elettrico totale attraverso la superficie chiusa dipende dalle cariche della superficie racchiusa e le cariche all'esterno della superficie non contengono alcun flusso. La forma della superficie è considerata arbitrariamente. Poiché il flusso elettrico totale è indipendente dalla posizione delle cariche all'interno della superficie chiusa. Questa superficie immaginaria è chiamata superficie gaussiana, che dipende dalla configurazione delle cariche e dal tipo di simmetria che esiste nella configurazione delle cariche. Vengono scelte principalmente superfici cilindriche e planariDiagramma della legge di Gauss Unità SI della legge di GaussL'unità SI della legge di Gauss è riportata di seguito. Se il campo elettrico è costante, il flusso elettrico che passa attraverso la superficie dell'area del vettore S è ΦE = E .S = ES Cos өSe un campo elettrico non è costante, il flusso elettrico attraverso una piccola area superficiale dS è data da d ΦE = E. dSW dove E = Campo elettricodS = area differenziale su superficie chiusaIl flusso elettrico ha unità SI di voltmetri (V m)Un campo elettrico è una regione di spazio attorno a una particella carica o tra due tensioni; esercita una forza sugli oggetti carichi nelle sue vicinanze.Espressione matematica della legge di GaussSecondo la legge di Gauss, il flusso totale in una superficie chiusa è 1/E0 volte la carica confinata da una superficie chiusa.∮E. ds = (1/ E0) qPer esempio, una carica puntiforme q è posizionata in un bordo del cubo. Allora, per la legge di Gauss, il flusso generato attraverso ciascuna faccia di un cubo è q/6 E0 Secondo questa legge, la carica totale racchiusa in una superficie chiusa è proporzionale al flusso totale racchiuso dalla superficie. Considera se, è il totale flusso ed E0 è la costante elettrica, allora la carica elettrica totale Q racchiusa da una superficie chiusa può essere espressa come segueQ= Φ E0Pertanto, la formula della legge di Gauss può essere espressa come sottoΦE= Q/E0dove, Q= carica totale all'interno della superficie data, E0 è la costante elettrica DerivazioneLa derivazione della legge di Gauss è riportata di seguito.Derivazione della legge di Gauss usando la legge di Coulomb,CASO 1: Superficie sferica che racchiude una carica puntiformeSupponiamo di avere una carica puntiforme stazionaria con modulo EE= q/4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA= q/4ΠE0r2. dA= q/4ΠE0r2§ dA= qA/4ΠE0r2= q4Πr2/4ΠE0r2= q/E0ΦE = ∮ E. dA = q/E0CASO 2: Superficie irregolare che racchiude la stessa carica puntiformeLascia che lo stesso tipo di linee di campo attraversino la superficie A1 e A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q/E0∮ E. dA = q/E0Legge di Gauss nei dielettrici Considera un condensatore a piastre parallele con uguale area A e densità di carica σ e ci sarà un vuoto tra le armature. Il diagramma seguente spiega questa legge nei dielettrici tra le due piastre parallele. Quindi possiamo valutare il vettore di campo E0 nella regione tra le piastre utilizzando la legge di Gauss.Legge di Gauss in dielettrico Consideriamo una superficie gaussiana a forma di cuboide e una faccia è gaussiana, il flusso non la attraverserà e quindi il flusso non passerà attraverso la faccia perpendicolare a questa faccia. Quindi il flusso passerà solo attraverso la faccia parallela alla piastra positiva. Considerare E0 costante della superficie gaussiana e è l'angolo tra il vettore di campo e il vettore di area ∯S E0. dα = q/E0∯S E0 dα cosө = q/E0∯S E0 dα = q/E0E0∯S dα = q/E0E0A = q/E0E0 = q/E0AQui q= A σE0 = A σ /E0AE0= σ/ E0Gauss Legge per la magnetostaticaQuesta legge per il magnetismo si applica al flusso magnetico attraverso una superficie chiusa. In questo caso, il vettore dell'area indica dalla superficie. Poiché le linee del campo magnetico sono anelli continui, tutte le superfici chiuse hanno tante linee di campo magnetico in entrata quante in uscita. Quindi, il flusso magnetico netto attraverso la superficie chiusa è zero. Flusso netto = ʃ B. dA = 0 Quindi la somma netta di tutte le correnti nella superficie racchiusa è Nulla. La legge di Gauss per le cariche era un metodo molto utile per calcolare i campi elettrici in situazioni altamente simmetriche. La legge di Gauss per la magnetostatica è usata molto raramente. Significato Questa sezione ti fornirà una chiara spiegazione sul significato della legge di Gauss. L'affermazione della legge di Gauss è corretta e adatta a qualsiasi superficie chiusa indipendentemente dalle dimensioni o dalla forma del particolare oggetto. Il termine Q nella formula della legge di Gauss indica la somma di tutte le cariche che sono completamente racchiuse nell'oggetto indipendentemente dalla posizione del carica sulla superficie.In alcune delle superfici selezionate, esistono sia cariche interne che esterne di un campo elettrico. La superficie scelta per la funzionalità della legge di Gauss è detta superficie gaussiana, ma questa superficie non deve essere fatta passare attraverso alcun tipo di carica isolata. Questa viene utilizzata principalmente per l'analisi semplificata del campo elettrostatico nello scenario in cui il sistema mantiene un certo equilibrio . Questo accadrà solo quando scegliamo una superficie gaussiana esatta.Esempi1). Una superficie gaussiana racchiusa nello spazio 3D in cui viene misurato il flusso elettrico. A patto che la superficie gaussiana sia sferica che sia racchiusa da 40 elettroni e abbia un raggio di 0.6 metri.Calcola il flusso elettrico che passa attraverso la superficieTrova il flusso elettrico avente una distanza di 0.6 metri dal campo misurato dal centro della superficie.Conosci la relazione che esiste tra la carica racchiusa e il flusso elettrico. RispostaCon la formula del flusso elettrico si può calcolare la carica netta racchiusa nella superficie. Ciò può essere ottenuto moltiplicando la carica per l'elettrone con gli interi elettroni che appaiono sulla superficie. Usando questo, è possibile conoscere la permittività dello spazio libero e il flusso elettrico.Ф = Q/є0 = [40(1.60 * 10-19)/8.85 * 10-12]= 7.42 * 10-12 Newton*metro/CoulombRispostaRiorganizzare l'equazione di flusso elettrico ed esprimendo l'area come raggio può essere utilizzato per calcolare il campo elettrico.Ф = EA = 7.42 * 10-12 Newton*metro/CoulombE = (7.42 * 10–)/A= (7.42 * 10–)/ 4∏(0.6)2Poiché il flusso elettrico ha una proporzione diretta con la carica elettrica racchiusa, ciò significa che quando la carica elettrica sulla superficie aumenta, anche il flusso che la attraversa sarà potenziato. Vantaggi I vantaggi della legge di Gauss sono i seguenti segue Rispetto alla legge di Coulomb, fornisce una direzione della forza specifica con la giusta precisione con i suoi casi generali appropriati. Il teorema di Gauss è più efficiente in tutti gli oggetti e le superfici chiusi allo scopo di trovare un campo elettrico e inoltre funzionerà efficacemente nel processo di distribuzione rispetto con la legge di Coulomb. Svantaggi Gli svantaggi della legge di Gauss sono come f ollowsIl limite della legge di Gauss è che calcola il campo elettrico solo in alcuni casi speciali. Non possiamo usare la legge di Gauss nel calcolo del campo dovuto al dipolo elettrico.ApplicazioniDi seguito sono riportate le importanti applicazioni della legge di GaussQuesto è molto utile per risolvere problemi elettrostatici complessi che coinvolgono simmetrie uniche come la simmetria cilindrica, sferica o planare.Questo può essere molto utile per calcolare l'intensità di campo dovuta a un filo infinitamente lungo caricato uniformemente. Se la distribuzione di carica manca di simmetria di applicazione, in quei casi possiamo usare questa legge per calcolare i campi di carica puntiformi dei singoli elementi di carica che sono presenti nell'oggetto Questa legge può essere usata per semplificare la valutazione del campo elettrico in modo semplice e facile. In alcune delle situazioni complesse, in cui il calcolo del campo elettrico è complesso, questa legge viene utilizzata in forma integrale. Pertanto, si tratta di una panoramica della legge di Gauss - definizione , formula, unità SI, espressione matematica, derivazione, diagramma, in dielettrici, in magnetostatica, significato, esempi con soluzioni, vantaggio es, svantaggi e sue applicazioni.

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