Resistenza e impedenza in un circuito CA

Vuoi creare un sito? Trova temi e plugin gratuiti per WordPress. Le relazioni i-v di resistori, condensatori e induttori possono essere espresse in notazione fasoriale. Come fasori, ogni iv relazione assume la forma di una legge di Ohm generalizzata: V=IZV=IZ dove la quantità di fasore Z è nota come impedenza. Per un resistore, un induttore e un condensatore, le impedenze sono, rispettivamente: ZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωCZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωC Combinazioni di resistori, induttori e capacità possono essere rappresentate da un'unica impedenza equivalente della forma: Z(jω)=R(jω)+jX(jω)unità di Ω (ohms)Z(jω)=R(jω)+jX(jω)unità di Ω (ohms) Dove R (jω) e X (jω) sono detti rispettivamente porzioni di “resistenza” e “reattanza” dell'impedenza equivalente Z. Entrambi i termini sono, in generale, funzioni di frequenza ω. L'ammettenza è definita come l'inverso dell'impedenza. Y=1Zunità di S (Siemens)Y=1Zunità di S (Siemens) Di conseguenza, tutte le relazioni e le tecniche dei circuiti CC introdotte nel Capitolo 3 possono essere estese ai circuiti CA. Pertanto, non è necessario apprendere nuove tecniche e formule per risolvere i circuiti AC; è solo necessario imparare a usare le stesse tecniche e formule con i fasori. Legge di Ohm generalizzata Il concetto di impedenza riflette il fatto che i condensatori e gli induttori agiscono come resistori dipendenti dalla frequenza. La figura 1 illustra un circuito CA generico con una sorgente di tensione sinusoidale VS fasore e un carico di impedenza Z, che è anche un fasore e rappresenta l'effetto di una rete generica di resistori, condensatori e induttori. Figura 1 Il concetto di impedenza La corrente risultante I è un fasore determinato da: V=IZLegge degli ohm generalizzati (1)V=IZLegge degli ohm generalizzati (1) Un'espressione specifica per l'impedenza Z si trova per ogni rete specifica di resistori, condensatori e induttori collegati alla sorgente. Per determinare Z è prima necessario determinare l'impedenza di resistori, condensatori e induttori utilizzando: Z=VIDefinizione di impedenza(2)Z=VIDefinizione di impedenza(2) Una volta che l'impedenza di ciascun resistore, condensatore e induttore in una rete è noto, possono essere combinati in serie e in parallelo (usando le regole usuali per i resistori) per formare un'impedenza equivalente “vista” dalla sorgente. Impedenza di un resistore La relazione iv per un resistore è, ovviamente, la legge di Ohm, che nel caso di sorgenti sinusoidali è scritta come (vedi Figura 2): Figura 2 Per un resistore, VR(t)=iR(t)R vR(t)=iR(t)R(3)vR(t)=iR(t)R(3) o, in forma fasoriale, VRejωt=IRejωtRVRejωt=IRejωtR dove VR=VRejθtVR=VRejθt e IR=IRejθtIR=IRejθt sono fasori. Entrambi i membri dell'equazione di cui sopra possono essere divisi per ejωt per ottenere: VR=IRR(4)VR=IRR(4) L'impedenza di un resistore è quindi determinata dalla definizione di impedenza: ZR=VRIR=R(5)ZR= VRIR=R(5) Quindi: ZR = R Impedenza di un resistore L'impedenza di un resistore è un numero reale; cioè, ha una magnitudine R e una fase zero, come mostrato in Figura 2. La fase dell'impedenza è uguale alla differenza di fase tra la tensione ai capi di un elemento e la corrente attraverso lo stesso elemento. Nel caso di un resistore, la tensione è completamente in fase con la corrente, il che significa che non vi è alcun ritardo o spostamento di tempo tra la forma d'onda della tensione e la forma d'onda della corrente nel dominio del tempo. Figura 2 Diagramma fasore dell'impedenza di un resistore. Ricorda che Z=V/L È importante tenere presente che le tensioni e le correnti del fasore nei circuiti CA sono funzioni di frequenza, V = V (jω) e I = I (jω). Questo fatto è fondamentale per determinare l'impedenza di condensatori e induttori, come mostrato di seguito. Impedenza di un induttore La relazione iv per un induttore è (vedi Figura 3): Figura 3 Per un induttore vL(t)=LdiL(t)dt(6)vL(t)=LdiL(t)dt(6) A questo punto punto, è importante procedere con attenzione. L'espressione nel dominio del tempo per la corrente attraverso l'induttore è: iL(t)=ILcos(ωt+θ)(7)iL(t)=ILcos⁡(ωt+θ)(7) Tale che ddtiL(t)=− ILωsin(ωt+θ)=ILωcos(ωt+θ+π/2)=Re(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re[IL(jω)ejωt+θ]ddtiL(t)=−ILωsin⁡(ωt+θ) =ILωcos⁡(ωt+θ+π/2)=Re⁡(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[IL(jω)ejωt+θ] Si noti che l'effetto netto della derivata temporale è di produrre un extra ( j ω) insieme all'espressione esponenziale complessa di iL(t). Cioè: dominio del tempo dominio della frequenza d/dtd/dt jωjω Pertanto, il fasore equivalente della relazione iv per un induttore è: VL=L(jω)IL(8)VL=L(jω)IL(8) L'impedenza di un induttore viene quindi determinato dalla definizione di impedenza: ZL=VLIL=jωL(9)ZL=VLIL=jωL(9) Quindi: ZL=jωL=ωL∠π2 Impedenza di un induttore (10)ZL=jωL=ωL∠π2 Impedenza di un induttore (10) L'impedenza di un induttore è un numero positivo, puramente immaginario; cioè ha una grandezza di ωL e una fase di π/2 radianti o 90◦, come mostrato nella Figura 4. Come prima, la fase dell'impedenza è uguale alla differenza di fase tra la tensione ai capi di un elemento e la corrente attraverso lo stesso elemento. Nel caso di un induttore, la tensione precede la corrente di π/2 radianti, il che significa che una caratteristica (ad esempio, un punto di passaggio per lo zero) della forma d'onda della tensione si verifica T /4 secondi prima della stessa caratteristica della forma d'onda della corrente. T è il periodo comune. Si noti che l'induttore si comporta come un complesso resistore dipendente dalla frequenza e che la sua grandezza ωL è proporzionale alla frequenza angolare ω. Pertanto, un induttore "impedirà" il flusso di corrente in proporzione alla frequenza del segnale sorgente. Alle basse frequenze, un induttore si comporta come un cortocircuito; alle alte frequenze si comporta come un circuito aperto. Figura 4 Diagramma di fase dell'impedenza di un induttore. Ricorda che Z=V/L Impedenza di un condensatore Il principio di dualità suggerisce che la procedura per derivare l'impedenza di un condensatore dovrebbe essere un'immagine speculare della procedura mostrata sopra per un induttore. La relazione iv per un condensatore è (vedi Figura 5): Figura 5 Per un condensatore iC(t)=CdvC(t)dt(11)iC(t)=CdvC(t)dt(11) L'espressione nel dominio del tempo per la tensione ai capi del condensatore è: vC(t)=VCcos(ωt+θ)(12)vC(t)=VCcos⁡(ωt+θ)(12) Tale che ddtvC(t)=−VCωsin(ωt+θ) =VCωcos(ωt+θ+π/2)=Re(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re[VC(jω)ejωt+θ]ddtvC(t)=−VCωsin⁡(ωt+θ)=VCωcos⁡(ωt+ θ+π/2)=Re⁡(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[VC(jω)ejωt+θ] Si noti che l'effetto netto della derivata temporale è di produrre un termine extra ( j ω) insieme al espressione esponenziale complessa di vC(t). Pertanto, il fasore equivalente della relazione iv per un condensatore è: IC=C(jω)VC(13)IC=C(jω)VC(13) L'impedenza di un induttore è quindi determinata dalla definizione di impedenza: ZC= VCIC=1jωC=−jωC(14)ZC=VCIC=1jωC=−jωC(14) Quindi: ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15)ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15) L'impedenza di un condensatore è un numero negativo, puramente immaginario; cioè, ha una grandezza di 1/ωC ​​e una fase di −π/2 radianti o −90o, come mostrato nella Figura 6. Come prima, la fase dell'impedenza è uguale alla differenza di fase tra la tensione ai capi di un elemento e la corrente attraverso lo stesso elemento. Nel caso di un condensatore, la tensione è in ritardo rispetto alla corrente di π/2 radianti, il che significa che una caratteristica (ad esempio un punto di passaggio per lo zero) della forma d'onda della tensione si verifica T/4 secondi dopo la stessa caratteristica della forma d'onda della corrente . T è il periodo comune di ciascuna forma d'onda. Figura 6 Diagramma di fase dell'impedenza di un condensatore. Ricorda che Z=V/L Nota che il condensatore si comporta anche come un resistore complesso dipendente dalla frequenza, tranne per il fatto che la sua grandezza 1/ωC ​​è inversamente proporzionale alla frequenza angolare ω. Pertanto, un condensatore "impedirà" il flusso di corrente in modo inversamente proporzionale alla frequenza della sorgente. Alle basse frequenze, un condensatore si comporta come un circuito aperto; alle alte frequenze si comporta come un cortocircuito. Impedenza generalizzata Il concetto di impedenza è molto utile per risolvere i problemi di analisi del circuito AC. Consente di applicare teoremi di rete sviluppati per circuiti CC a circuiti CA. L'unica differenza è che l'aritmetica complessa, piuttosto che l'aritmetica scalare, deve essere utilizzata per trovare l'impedenza equivalente. La Figura 7 mostra ZR(jω), ZL(jω) e ZC(jω) nel piano complesso. È importante sottolineare che sebbene l'impedenza dei resistori sia puramente reale e l'impedenza dei condensatori e degli induttori sia puramente immaginaria, l'impedenza equivalente vista da una sorgente in un circuito arbitrario può essere complessa. Figura 7 L'impedenza di R, L e C è mostrata nel piano complesso. Le impedenze nel quadrante in alto a destra sono induttive mentre quelle nel quadrante in basso a destra sono capacitive. Z(jω)=R+X(jω)(16)Z(jω)=R+X(jω)(16) Qui, R è la resistenza e X è la reattanza. L'unità di R, X e Z è l'ohm. Ammissione È stato suggerito che la soluzione di alcuni problemi di analisi del circuito fosse gestita più facilmente in termini di conduttanza che di resistenze. Questo è vero, ad esempio, quando si utilizza l'analisi dei nodi o in circuiti con molti elementi paralleli, poiché la conduttanza in parallelo si somma come i resistori in serie. Nell'analisi del circuito CA, può essere definita una quantità analoga: il reciproco dell'impedenza complessa. Proprio come la conduttanza G è stata definita come l'inversa della resistenza, l'ammettenza Y è definita come l'inversa dell'impedenza: Y=1Zunità di S (Siemens)(17)Y=1Zunità di S (Siemens)(17) Ogni volta che l'impedenza Z è puramente reale, l'ammettenza Y è identica alla conduttanza G. In generale, tuttavia, Y è complesso. Y=G+jB(18)Y=G+jB(18) dove G è la conduttanza AC e B è la suscettanza, che è analoga alla reattanza. Chiaramente, G e B sono correlati a R e X; tuttavia, la relazione non è un semplice inverso. Se Z = R + jX , allora l'ammettenza è: Y=1Z=1R+jX(19)Y=1Z=1R+jX(19) Moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato Z ̄ = R − jX: Y= ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ=R−jXR2+X2(20)Y=Z¯Z¯Z=R−jXR2+X2(20) e concludere che G=RR2+X2(21)B=−XR2 +X2G=RR2+X2(21)B=−XR2+X2 Si noti in particolare che G non è il reciproco di R nel caso generale! Hai trovato apk per Android?

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